\(x^2-2mx+m-7=0\)
Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm pb
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-7\end{matrix}\right.\)
a/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\2x_1x_2=2m-14\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế: \(x_1+x_2-2x_1x_2=14\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
\(\Rightarrow x_1\left(1-2x_2\right)=14-x_2\)
\(\Rightarrow x_1=\frac{14-x_2}{1-2x_2}\)
b/ \(\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}=\frac{x_1^3+x_2^3}{\left(x_1x_2\right)^3}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1x_2\right)^3}=\frac{8m^3-6m\left(m-7\right)}{\left(m-7\right)^3}\)
\(A=2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1^2-2mx_1+m\)
Mặt khác do \(x_1\) là nghiệm nên
\(x_1^2-2mx_1+m=7\)
\(\Rightarrow A=2\left(x_1^2+x_2^2\right)+7=2\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+7\)
\(=8m^2-4\left(m-7\right)+7=8m^2-4m+35\)
c/ Để pt có 2 nghiệm dương:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m>0\\m-7>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>7\)
