Question

cho phương trình bậc hai \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-4=0\) (m là tham số )

với \(x_1,x_2\)là nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để biểu thức : \(B=\left|x_1-x_2\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy :

\(\Delta'=(m-1)^2-(2m-4)=m^2-4m+5\)

\(=(m-2)^2+1>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$ là số thực.

Áp dụng định lý Viete ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{(2m-2)^2-4(2m-4)}=\sqrt{4m^2-16m+20}\)

\(=\sqrt{(2m-4)^2+4}\)

Để $B$ đạt gtnn thì \(\sqrt{(2m-4)^2+4}\) phải nhỏ nhất.

Thấy rằng \((2m-4)^2\geq 0\Rightarrow \sqrt{(2m-4)^2+4}\geq \sqrt{4}=2\)

Vậy để \(B_{\min}=2\) thì \(2m-4=0\Leftrightarrow m=2\)