Câu a :
Thay \(m=1\) vào phương trình ta được :
\(x^2-2\left(1+1\right)x+1^2+1-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)
\(\Delta=\left(-4\right)^2-4.1=12>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{4+\sqrt{12}}{2}=2+\sqrt{3}\\x_2=\dfrac{4-\sqrt{12}}{2}=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Câu b :
Do x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình nên theo hệ thức vi-et ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)
Mặt khác :
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_2\)
\(=\left(2m+1\right)^2-2\left(m^2+m-1\right)\)
\(=4m^2+4m+1-2m^2-2m+2\)
\(=2m^2+2m+3\)
\(=2\left[\left(m^2+m+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{5}{4}\right]\)
\(=2\left[\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}\right]\ge\dfrac{5}{4}\)
Vậy GTNN của \(x_1^2+x_2^2\) là \(\dfrac{5}{4}\) khi \(m=-\dfrac{1}{2}\)
đạt giá trị nhỏ nhất
