Cho (P): \(y=\frac{x^2}{2}\) và điểm M (1; 1). Gọi (d0 là đường thẳng qua M với hệ số góc k.
a) Chứng tỏ rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B
b) Gọi \(x_A\), \(x_B\) lần lượt là hoành độ của A và . Xác định k để \(x_A^2+x_B^2=2x_Ax_B+5\)
c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Tính chu vi tứ giác AHKB khi k = 2
Phương trình (d): \(y=kx+b\)
Do (d) qua M nên \(1=k+b\Rightarrow b=-k+1\Rightarrow y=kx-k+1\)
Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):
\(\frac{x^2}{2}=kx-k+1\Leftrightarrow x^2-2kx+2k-2=0\)
\(\Delta'=k^2-2k+2=\left(k-1\right)^2+1>0\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2k\\x_Ax_B=2k-2\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_A+x_b\right)^2-2x_Ax_B=2x_Ax_B+5\)
\(\Leftrightarrow4k^2-4k+4=4k+1\)
\(\Leftrightarrow4k^2-8k+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\frac{3}{2}\\k=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi \(k=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(2+\sqrt{2};3+2\sqrt{2}\right)\\B\left(2-\sqrt{2};3-2\sqrt{2}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H\left(2+\sqrt{2};0\right)\\K\left(2-\sqrt{2};0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{2}\right)^2}=2\sqrt{10}\)
\(AH=y_A=3+2\sqrt{2}\) ; \(BK=y_B=3-2\sqrt{2}\); \(HK=x_A-x_B=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow AB+AH+BK+HK=...\)
