Ta có p là số nguyên tố lớn hơn 3, suy ra p là số lẻ
=> p + 1; p-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=> ( p+1)(p-1) chia hết cho 8 (1)
p = 3k +1 hoặc p = 3k +2 ( k thuộc N*)
* Với p = 3k + 1
=> (p+1)(p-1) = ( 3k+1+1)(3k+1-1) = 3k(3k+2) chia hết cho 3 (2)
* Với p = 3k + 2
=> (p+1)(p-1) = ( 3k+2+1)(3k+2-1) = (3k+3)(3k+1) = 3 ( 3k-1)(k+1) chia hết cho 3 (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra:
(p-1)(p+1) chia hết cho 24
a) Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR: \(a^2-1\) chia hết cho 24
b) CMR: nếu a và b là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(a^2-b^2\) chia hết cho 24
c) Tìm điều kiện của số tự nhiên a để \(a^4-1\) chia hết cho 240
1. CHo số nguyên tố p thỏa mãn p+6 cũng là số nguyên tố . Chứng minh \(p^2+2021\) là hợp số
2.Tìm tất cả các số tự nhiên a để \(a^2+3a\) là số chính phương
Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
Chứng minh rằng nếu tích của ba số dương bằng 1, còn tổng của ba số đó lớn hơn tổng các nghịch đảo của chúng thì trong ba số đó có đúng 1 số lớn hơn 1
Cho các số nguyên a,b,c sao cho \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)
a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố
b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố
1 ) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn x+y lớn hơn hoặc bằng 10. Tìm GTNN:
\(P=2x+y+\frac{30}{x}+\frac{5}{y}\)
2 ) Chứng minh rằng :
\(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\)
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR : \(3^p-2^p-1⋮42p\)
Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn điều kiện a.b.c = 1
Chứng minh rằng :\(\dfrac{1}{3+a^2+2ab}+\dfrac{1}{3+b^2+2bc}+\dfrac{1}{3+c^2+2ca}\) bé hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{2}\)
Cho x + 4y = 1 . Chứng mỉnh rằng \(x^2+4y^2\) lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{5}\)
