Question

Cho p là một số nguyên tố. Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là hai số nguyên tố

Answer 1

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ nào đó để $8p-1, 8p+1$ cùng là số nguyên tố.
Nếu $p=3$ thì $8p+1$ không phải số nguyên tố (trái giả sử)

Nếu $p$ chia $3$ dư $1$. Đặt $p=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Khi đó $8p+1=8(3k+1)+1=3(8k+3)\vdots 3$. Mà $8p+1>3$ nên $8p+1$ không thể là số nguyên tố (trái với giả sử)

Nếu $p$ chia $3$ dư $2$. Đặt $p=3k+2$ với $k\in\mathbb{N}^*$

Khi đó $8p-1=8(3k+2)-1=3(8k+5)\vdots 3$. Mà $8p-1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với giả sử)

Suy ra điều giả sử là sai, tức là $8p-1,8p+1$ không thể đồng thời là snt với $p$ nguyên tố.