Question

Cho (O), đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn, vẽ bán kính OK // AB, K và A nằm cùng phía đối với BC, tiếp tuyến với (O) tại C, cắt OK tại I, OI cắt AC tại H.

a, Chứng minh: ΔABC vuông tại A

b, Chứng minh: IA là tiếp tuyến của (O)

c, Cho BC=30cm, AB=18cm. Tính OI và CI

d, Chứng minh: CK là phân giác của góc ACI

Answer 1

a, Chứng minh: \(\Delta\)ABC vuông tại A

Ta có: BC là đường kính của (O)

mà: A∈(O)

➜△ABC nội tiếp (O)

➜△ABC vuông tại A

b,Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O)

Ta có :△ABC vuông tại A

➜AB⊥AC

mà: AB//OK(gt)

➜AC⊥OK

mà: OI cắt AC tại H

➜OH⊥AC

Xét △OAC có: OA=OC và OH là đường cao

➜△OAC cân tại O có OH là tia phân giác

➜góc AOH=góc HOC

Xét △AOI và △IOC có:

. OA=OC

. OI là cạnh chung

. góc AOI=góc IOC

➜△AOI=△IOC (c-g-c)

➜góc OAI=góc OCI

mà: góc OCI=90^o (do IC là tiếp tuyến của (O) tại C)

➜góc OAI=90^o

➜OA⊥AI tại A

➜IA là tiếp tuyến của (O) tại A

c,BC=30, AB=18, tính OI,CI

OC=\(\dfrac{BC}{2}=15\left(cm\right)\)

BC²=AB²+AC² (định lý Pithago)

➜AC=√BC²-AB²=√30²-18²=24 (cm)

\(HC=\dfrac{AC}{2}=12\left(cm\right)\)

OH²+HC²=OC²

➜OH=\(\sqrt[]{OC^2-HC^2}\)₌\(\sqrt{15^2-12^2}\)_{=9 (cm)}

_{\(\cos\widehat{HOC}\)}\(=\dfrac{OH}{OC}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=c\text{os}\widehat{IOC}\)

cos \(\widehat{IOC}\)_{=\(\dfrac{OC}{OI}=\dfrac{3}{5}=0.6\)}

_{➜OI=\(\dfrac{OC}{0.6}=\dfrac{15}{0.6}=25\left(cm\right)\)}

OI²=OC²+CI²

➜\(CI=\sqrt{OI^2-OC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20\left(cm\right)\)

d, Chứng minh CK là phân giác góc ACI

Ta có: IA và IC là tiếp tuyến của (O)

➜IA=IC

mà: OA=OC

➜OI là đường trung trực của AC

mà : K∈ OI

➜KA=KC➜ΔAKC cân tại K

➜\(\widehat{CAK}=\widehat{ACK}\)

mà: \(\widehat{KAC}=\widehat{KCI}\)(góc nội tiếp=góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đó)

➜\(\widehat{ACK}=\widehat{KCI}\)

➜CK là phân giác của góc ACI

Answer 2