Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AH, kẻ MB cắt nửa đường tròn tâm O ở Q và cắt CH ở N.
a) Chứng minh \(MA^2=MQ.MB\)
b) Gọi I là giao điểm của AC và MO. Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp
c) Chứng minh CN = NH
a. Ta có: góc AQB=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> AQ vuông góc BM
Xét tam giác AMB vuông tại A có AQ là đường cao có: (AQ vuông góc BM)
\(MA^2=MQ.MB\) (hệ thức lượng)
b. Ta có:
OA=OC=R
MA=MC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> OM là trung trực của AC.
=> OM vuông góc AC tại I.
=> Góc AIM = 90 độ.
Xét tứ giác AIQM có:
Góc AIM = 90 độ (cmt)
Góc AQM = 90 độ (góc AQB = 90 độ)
=> Góc AIM = góc AQM = 90 độ
=> AIQM là tgnt (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc không đổi)
c. BC cắt AM tại K.
Ta có: Góc KAC = góc MCA (tg AMC cân vì MA=MC)
Mà góc KAC + góc AKC = 90 độ (tg AKC vuông tại C)
=> Góc MCA + góc AKC = 90 độ
Mà góc MCA + góc MCK = 90 độ
=> góc AKC = góc MCK
=> Tg MKC cân tại M
=> MC=MK
Mà MC=MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> MK=MA
Ta có: HN // MA (cùng vuông góc AB)
\(\dfrac{\Rightarrow HN}{MA}=\dfrac{BN}{BM}\) (hệ quả định lý Ta-lét) (*)
Ta có: CN // MK ( C thuộc tia HN, K thuộc tia AM)
=> \(\dfrac{CN}{MK}=\dfrac{BN}{BM}\) (hệ quả định lý Ta-lét) (**)
Từ (*), (**) và MA=MK (cmt) =>CN=HN
