Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kỳ. Tiếp tuyến nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh rằng CD = AC + BD
b) Tính số đo góc DOC
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE; K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao? Và IK//MN
d) Xác định vị trí của OE để tứ giác EIOK là hình vuông
a) Xét hai tam giác vuông CAOCAO và CEOCEO tại AA và EE có
OA=OE=ROA=OE=R ; COCO : chung
⇒△CAO=△CEO⇒△CAO=△CEO (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒CA=CE⇒CA=CE
Tương tự chứng minh được △DBO=△DEO△DBO=△DEO
⇒DB=DE⇒DB=DE
Có AC+BD=CE+DE=CDAC+BD=CE+DE=CD
b) Có ˆAOC=ˆEOCAOC^=EOC^ (△CAO=△CEO△CAO=△CEO)
ˆBOD=ˆEODBOD^=EOD^ (△DBO=△DEO△DBO=△DEO)
mà ˆAOC+ˆEOC+ˆEOD+ˆBOD=180∘AOC^+EOC^+EOD^+BOD^=180∘
⇔2.ˆEOC+2.ˆEOD=180∘⇔2.EOC^+2.EOD^=180∘
⇒ˆEOC+ˆEOD=90∘⇒ˆCOD=90∘⇒EOC^+EOD^=90∘⇒COD^=90∘
c) Tam giác AOEAOE cân tại OO có OCOC là đường phân giác góc ˆAOEAOE^
⇒OC⊥AE⇒OC⊥AE
Tương tự OD⊥BEOD⊥BE
Tứ giác EIOKEIOK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật
d) Hình EIOKEIOK là hình vuông
⇔ˆEOI=ˆEOK⇔ˆAOE=ˆBOE⇔EOI^=EOK^⇔AOE^=BOE^
mà ˆAOE+ˆBOE=180∘AOE^+BOE^=180∘
⇒ˆAOE=ˆBOE=90∘⇒AOE^=BOE^=90∘
⇒OE⊥AB⇒OE⊥AB
