Cho hình vuông ABCD, \(E\in BC\left(E\ne B,C\right)\). Vẽ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. AI là đường trung tuyến của \(\Delta AEF\), AI cắt CD tại K. Vẽ EG // CD (E thuộc AI).
a) C/m: AE = AF và EGFH là hình thoi.
b) C/m: AF2 = FK.FC.
c) Nếu E thay đổi trên cạnh BC. C/m: chu vi \(\Delta KCE\) không đổi.
Hình tự vẽ nhé , tớ max lười làm nên giúp ý chính thôi .
a, Chứng minh \(\Delta ABE=\Delta ADF\left(g.c.g\right)\Rightarrow AE=AF\)
\(AE=AF\) (c/m trên) \(\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A
\(\Rightarrow\) AI vừa là trung tuyến , vừa là đường cao
hay \(GK\perp EF\) (*)
Mặt khác : GE//EF ( cùng //AB) (1)
Chứng minh \(\Delta IGE=\Delta IKF\left(g.c.g\right)\Rightarrow GE=KF\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EGFK là hình bình hành mà \(GK\perp EF\) (theo *)
\(\Rightarrow\) EGFK là hình thoi (đpcm)
b, Chứng minh \(\Delta AFK\sim\Delta CFA\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{FK}=\dfrac{FC}{AF}\)
hay \(AF^2=FK.FC\) (đpcm)
c,Ta có : AI là đường trung trực của EF và \(K\in AI\)
\(\Rightarrow KE=KF\)
Mặt khác : \(\Delta ABE=\Delta ADF\) (câu a)\(\Rightarrow BE=DF\)
\(C\Delta EKC=EC+CK+EK\)
\(=EC+CK+KF\)
\(=CE+CK+FD+FK\)
\(=CE+CK+BE+DK\)
\(=BC+CD=2BC\) (const)
Vậy nếu E thay đổi trên BC thì chu vi \(\Delta KCE\) không đổi .
Chúc bạn học tốt !
