Question

cho hình thang cân ABCD có BH là đường cao biết \(BH=\dfrac{AB+CD}{2}\) Chứng minh BD vuông góc với AC

Answer 1

Góc mình sẽ ghi 3 chủ nha

Gọi K là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trên đoạn thẳng AD và BC lll lấy M , N là trung điểm

=> MN là đường trung bình của hình thang

trong tam giác BCH vuông tại H , co : HN là đường trung tuyến ( BN=NC)

=> HN = BN=CN ( =BC/2)

Nên tam giác HNC cân tại N ( NC=NH)

=> NHC = NCH

Mà NCH = MDC ( ABCD là hình thang cân)

=> NHC = MDC

=> NH // MD

Xét tg ABCD , co :

NH //MD (cmt)

MN//CD ( MN la duong trung binh)

=> ABCD là hình bình hành

=> MN = DH

Vì MN là đường trung bình , co :

MN = (AB+ CD )/2

Mặt khác , ta có : BH = (AB+CD)/2 (gt)

=>MN=BH=DH

=> tam giác BHD cân tại H

=> BDC= DBH

Ta có :ACD = BDC ( hai đường chéo AC và BD giao nhau trong hình thang can ABCD )

Xét tam giác BHD và tam giác DKC , co :

BDC = DBH(cmt)

ACD = BDC (cmt)

=> tam giac BHD đồng dang tam giác DKC (g-g)

=> BHD =DKC= 90

=> BD vuông góc với AC tại K