a) Xét ΔDHB và ΔDBC có
\(\widehat{DHB}=\widehat{DBC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{BDC}\) chung
Do đó: ΔDHB∼ΔDBC(g-g)
b) Xét ΔHBD và ΔHCB có
\(\widehat{BHD}=\widehat{CHB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{HBD}=\widehat{HCB}\)(cùng phụ với \(\widehat{HBC}\))
Do đó: ΔHBD∼ΔHCB(g-g)
⇒\(\frac{HB}{HC}=\frac{HD}{HB}\)
⇒\(HB^2=DH\cdot CH=16\cdot9=144\)
hay \(HB=\sqrt{144}=12cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔBDH vuông tại H, ta được:
\(BD^2=BH^2+DH^2\)
\(\Leftrightarrow BD^2=12^2+16^2=400\)
hay \(BD=\sqrt{400}=20cm\)
Ta có: ABCD là hình thang cân(gt)
⇒AC=BD(hai đường chéo của hình thang cân ABCD)
mà BD=20cm(cmt)
nên AC=20cm
Vậy: BD=20cm; AC=20cm
c) Kẻ đường cao AF(F∈DC)
Ta có: AF⊥DC(theo cách vẽ)
BH⊥DC(gt)
Do đó: AF//BH(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Ta có: AB//CD(ABCD là hình thang cân)
mà F∈CD(theo cách vẽ)
và H∈CD(gt)
nên AB//HF
Xét tứ giác ABHF có AB//HF(cmt) và AF//BH(cmt)
nên ABHF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AB=FH(hai cạnh đối của hình bình hành ABHF)(1)
Xét ΔAFD vuông tại F và ΔBHC vuông tại H có
AD=BC(hai cạnh bên của hình thang cân ABCD)
\(\widehat{ADF}=\widehat{BCH}\)(hai góc kề một đáy của hình thang cân ABCD)
Do đó: ΔAFD=ΔBHC(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒DF=HC(hai cạnh tương ứng)
mà HC=9cm
nên DF=9cm
Ta có: DF+FH+HC=DC
hay FH=DC-DF-HC=25-9-9=7(cm)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB=7cm
Diện tích hình thang ABCD là:
\(S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot BH=\frac{7+25}{2}\cdot12=192cm^2\)
