Question

Cho hình thang ABCD (AB//CD) . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD,AC,DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC . C/m :

a) H là trực tâm của tam giác EFK

b) tam giác HCD cân

Mình đang cần gấp lắm nha mọi người

Answer 1

a, Xét \(\Delta\) ACD có : AF = FC ; KD = KC

\(\Rightarrow\) KF // AD ( đường trung bình trog TG )

Mà EC \(\perp\) AD \(\Rightarrow\)EC \(\perp\) KF (1) .

Tg tự : \(\Delta\) BCD có : BE = DE ; KD = KC

\(\Rightarrow\) EK // BC . Mà DF \(\perp\) BC \(\Rightarrow\) EK \(\perp\) DF (2) .

Xét \(\Delta\) EFK ta có CE\(\cap\)DF tại H;EC \(\perp\) KF : EK \(\perp\)DF

\(\Rightarrow\) H là trực tâm của \(\Delta\) EFK .

Answer 2

Có : ED = EB = BD/2 ; AF = CF = AC/2 .

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BD}{AC}\) = \(\dfrac{\dfrac{BD}{2}}{\dfrac{CD}{2}}\) = \(\dfrac{DE}{CF}\) (1).

Gọi O là điểm giao của BD và AC .

Xét \(\Delta\) ABO có BD // AC , theo hệ quả của định lí Ta-lét

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DO}{BO}=\dfrac{CO}{AO}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DO}{DO+BO}=\dfrac{CO}{CO+AO}\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{DO}{BD}=\dfrac{CO}{AC}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DO}{CO}\) (2) .

Từ (1) và (2) ta đc : \(\dfrac{DE}{CF}=\dfrac{DO}{CO}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{DO}{CO}=\dfrac{DE}{CF}=\dfrac{DO-DE}{CO-CF}=\dfrac{OE}{OF}\).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{OF}{OC}\)

Xét \(\Delta\) OCD có :\(\dfrac{OE}{OD}=\dfrac{OF}{OC}\) (c/m trên)

\(\Rightarrow\) EF // CD (định lí Ta-lét đảo) .

Mà KH \(\perp\) EF \(\Rightarrow\) KH \(\perp\) CD .

Xét \(\Delta\) HCD có :

KH \(\perp\) CD ; HC = HD

\(\Rightarrow\) \(\Delta\) HCD cân tại H (KH vừa là trung tuyến , vừa là đường cao của \(\Delta\) HCD ) .