Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\sqrt{2}a\) . Gọi O là tâm của đáy và M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
a) Chứng minh : (SBD) \(\perp\) (SAC)
b) Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (ABCD)
Mọi người ơi giúp mình với, mình cảm ơn nhiều nhiều ạ
\(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình vuông) (1)
\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp AC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)\)
Mà \(AC\in\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SAC\right)\)
b/ Gọi giao điểm của MN và BD là H
\(MN\) là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN//AC\)
\(\Rightarrow MN\perp\left(SBD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SHO}\) là góc giữa (SMN) và (ABCD)
\(BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)
\(OH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}BD=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(SO=\sqrt{SD^2-OD^2}=\sqrt{SD^2-\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=2\sqrt{3}\)
