Question

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Answer 1

Gọi M là trung điểm của AB suy ra :

\(SM\perp\left(ABC\right);SM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Gọi G₁ là trọng tâm của △SAB suy ra :

\(SG_1=BG_1=AG_1=\dfrac{2}{3}SH=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Gọi G₂ là trọng tâm của △ABC suy ra :

\(AG_2=BG_2=CG_2=\dfrac{2}{3}MC=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow R=\sqrt{SG_1^2+BG_2^2-\dfrac{AB^2}{4}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2-\dfrac{1^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\text{π}R^3=\dfrac{4}{3}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{15}}{6}\right)^3\text{π}=\dfrac{5\sqrt{15}}{54}\text{π}\)

Answer 2