Question

Cho hình bình hành ABCD gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC,CD . Chứng minh AI , A J chia đường chéo BD thành ba phần bằng nhau.

Answer 1

gọi giao điểm của AJ với BD là H

giao điểm của AI với BD là E

giao điểm 2 đường chéo AC và BD là K

do ABCD là hình bình hành\(=>\left\{{}\begin{matrix}AK=KC\\KD=KB\end{matrix}\right.\)

\(=>DK\) là tiếp tuyến trong \(\Delta ADC\)

mà AJ cũng là tiếp tuyến trong \(\Delta ADC\)(do J là trung điểm CD)

\(=>H\) là trọng tâm \(=>BH=\dfrac{2}{3}DK=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.BD=\dfrac{1}{3}BD\left(1\right)\)

chứng minh tương tự đối với \(\Delta ACB=>E\) là trọng tâm

\(=>BE=\dfrac{2}{3}KB=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.BD=\dfrac{1}{3}BD\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\)\(=>HE=\dfrac{1}{3}BD=HD=EB\left(dpcm\right)\)