Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, gọi F là điểm đối xứng với D qua C.
a) C/m rằng: AEBC là hình bình hành.
b) C/m rằng: ABFC là hình bình hành.
c) Các điểm E và F có điểm đối xứng với nhau qua điểm B không? Vì sao?
d) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì E đối xứng với F qua đường thẳng DB? Vẽ hình minh họa.
a)
Ta có: E và D đối xứng nhau qua A(gt)
nên A là trung điểm của ED
Ta có: ABCD là hình bình hành(gt)
nên AD=BC và AD//BC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà AD=AE(A là trung điểm của ED)
và A∈ED(A là trung điểm của ED)
nên AE=BC và AE//BC
Xét tứ giác AEBC có
AE//BC(cmt)
AE=BC(cmt)
Do đó: AEBC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: D và F đối xứng nhau qua C(gt)
nên C là trung điểm của DF
Ta có: ABCD là hình bình hành(gt)
nên AB//CD và AB=CD(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà C∈DF và CD=CF(C là trung điểm của DF)
nên AB//CF và AB=CF
Xét tứ giác ABFC có
AB//CF(cmt)
AB=CF(cmt)
Do đó: ABFC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: ACBE là hình bình hành(cmt)
nên AC//EB và AC=EB(Hai cạnh đối trong hình bình hành ACBE)(1)
Ta có: ABFC là hình bình hành(cmt)
nên AC//BF và AC=BF(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABFC)(2)
Từ (1) và (2) suy ra EB=BF(3)
Ta có: AC//EB(cmt)
AC//BF(cmt)
mà BF và EB có điểm chung là B
nên E,B,F thẳng hàng(4)
Từ (3) và (4) suy ra B là trung điểm của EF
hay E và F đối xứng nhau qua B(đpcm)
d) Để E và F đối xứng nhau qua đường thẳng DB thì DB là đường trung trực của EF
⇒D nằm trên đường trung trực của EF
hay DE=DF
mà \(AD=\frac{DE}{2}\)(A là trung điểm của DE)
và \(DC=\frac{DF}{2}\)(C là trung điểm của DF)
nên AD=DC
Vậy: Khi hình bình hành ABCD có thêm điều kiện AD=DC thì E đối xứng với F qua đường thẳng DB
