Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN,K là giao điểm của MD với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD.
a, Chứng minh tứ giác MDKB là hình thang.
b, Tứ giác PMQN là hình gì?Vì sao?
c, Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông?
a. Ta có \(BM=MC=AN=ND\) (M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD, \(BC=AD\))
hay \(BM=ND\)
Lại có BM//ND (BC//AD, \(M\in BC,N\in AD\))
Do đó tứ giác BMND là hình bình hành
\(\Rightarrow\) MD//BN hay MD//BK
\(\Rightarrow\) MDKB là hình thang (dpcm)
b. Vì BM=AN và BM//AN nên tứ giác BMNA là hình bình hành.
Lại có \(BM=\frac{1}{2}BC,AB=\frac{1}{2}BC\) nên BMNA là hình thoi.
\(\Rightarrow\) \(\widehat{NPM}=90^o\left(tcht\right)\)
Ta có MC=AN và MC//AN nên MCNA là hình bình hành
\(\Rightarrow\) AM//NC hay PM//NQ (\(P\in AM,Q\in NC\))
Ta có: PM//NQ, MQ//PN nên PMQN là hình bình hành.
Lại có \(\widehat{NPM}=90^o\) nên PMQN là hình chữ nhật (dhnb).
c. PMNQ là hình vuông thì PM=NP
\(\Rightarrow\) BN=AM
Lại có P là trung điểm hai đường chéo BN và AM của hình thoi BMNA nên BMNA là hình vuông (dhnb).
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAN}=90^o\)
Ta lại có ABCD là hình bình hành
\(\Rightarrow\) ABCD là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)
Vậy ABCD là hình chữ nhật thì PMQN là hình vuông.
