Cho hình bình hành ABCD có AB=2CD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a, C/m: Tứ giác EBFD là hình bình hành
b, Tứ giác AEFD là hình gì? AECF là hình gì?
c, Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. C/m: EMFN là hình chữ nhật.
d, C/m: 4 đường thẳng AC, EF, MN, BD cùng đi qua 1 điểm
Sửa đề: AB=2AD
a) Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)
\(DF=CF=\frac{DC}{2}\)(F là trung điểm của CD)
mà AB=CD(hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
nên AE=EB=DF=CF
Xét tứ giác EBFD có EB//DF(AB//DC, E∈AB, F∈DC) và EB=DF(cmt)
nên EBFD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét tứ giác AEFD có AE//DF(AB//CD, E∈AB, F∈DC) và AE=DF(cmt)
nên AEFD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: \(AE=\frac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)
mà \(AD=\frac{AB}{2}\)(AB=2AD)
nên AE=AD
Xét hình bình hành AEFD có AE=AD(cmt)
nên AEFD là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tứ giác AECF có AE//CF(AB//CD, E∈AB, F∈CD) và AE=CF(cmt)
nên AECF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: AEFD là hình thoi(cmt)
⇔Hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau(định lí hình thoi)
mà AF\(\cap\)DE={M}
nên M là trung điểm của DE
⇔\(ME=\frac{DE}{2}\)(1)
Xét tứ giác EBCF có EB//CF(AB//CD, E∈AB, F∈CD) và EB=CF(cmt)
nên EBCF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇔Hai đường chéo BF và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà BF\(\cap\)EC={N}(gt)
nên N là trung điểm của BF
hay \(NF=\frac{BF}{2}\)(2)
Ta có: ED=BF(hai cạnh đối của hình bình hành EBFD)
⇔\(\frac{ED}{2}=\frac{BF}{2}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra EM=FN
Xét tứ giác EMFN có EM//FN(ED//BF, M∈ED, N∈BF) và EM=FN(cmt)
nên EMFN là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AF⊥DE(cmt)
⇔EM⊥FM(AF\(\cap\)DE={M})
⇔\(\widehat{EMF}=90^0\)
Xét hình bình hành EMFN có \(\widehat{EMF}=90^0\)(cmt)
nên EMFN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: ABCD là hình bình hành(gt)
⇔Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà AC\(\cap\)BD={O}
nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD(4)
Ta có: EBFD là hình bình hành(cmt)
⇔Hai đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà O là trung điểm của đường chéo BD(gt)
nên O là trung điểm của đường chéo EF(5)
Ta có: EMFN là hình chữ nhật(cmt)
⇔Hai đường chéo EF và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau
mà O là trung điểm của đường chéo EF(cmt)
nên O là trung điểm của đường chéo MN(6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra AC, EF, MN, BD cùng có trung điểm là điểm O
hay AC, EF, MN, BD cùng đi qua một điểm(đpcm)
