Lời giải:
a) Do $ABCD$ là hình bình nên:
$\widehat{ABH}=180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ADC}=\widehat{ADK}$
Xét tam giác $ABH$ và $ADK$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{AKD}=90^0$
$\widehat{ABH}=\widehat{ADK}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle ADK$ (g.g)
b) Từ kết quả tg đồng dạng trên suy ra $\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AK}$ hay $\frac{BA}{BC}=\frac{AH}{AK}$
Mặt khác:
$\widehat{HAK}=\widehat{HAC}+\widehat{KAC}=90^0-\widehat{ACB}+90^0-\widehat{ACD}=180^0-\widehat{BCD}=\widehat{ABC}$
Xét tam giác $HAK$ và $ABC$ có:
$\frac{HA}{AK}=\frac{AB}{BC}$ (cmt)
$\widehat{HAK}=\widehat{ABC}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle HAK\sim \triangle ABC$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AHK}=\widehat{BAC}$ (đpcm)
c) Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra $\frac{AB}{AD}=\frac{BH}{DK}\Rightarrow AB.DK=AD.BH$
Do đó:
$CB.CH+CD.CK=CB(CB+BH)+CK(CK-DK)$
$=CB^2+CB.BH+CK^2-CK.DK$
$=AD^2+AD.BH+CK^2-CK.DK$
$=AD^2+AB.DK+CK^2-CK.DK=AD^2+DK(AB-CK)+CK^2$
$=AD^2+DK(CD-CK)+CK^2=AD^2-DK^2+CK^2=AK^2+CK^2=AC^2$ (theo định lý Pitago)
Ta có đpcm.
