Lời giải:
Gọi tọa độ điểm \(M(a,\frac{2a}{a+1})\)
\(y=\frac{2x}{x+1}\Rightarrow y'=\frac{2}{(x+1)^2}\)
Do đó phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là:
\((d):y=f'(a)(x-a)+f(a)=\frac{2}{(a+1)^2}(x-a)+\frac{2a}{a+1}\)
\(\Leftrightarrow (d):y=\frac{2x+2a^2}{(a+1)^2}\)
Do đó: \((d)\cap Ox=A(-a^2,0)\)
\((d)\cap (Oy)=B(0, \frac{2a^2}{(a+1)^2})\)
Có: \(S_{OAB}=\frac{OA.OB}{2}=\frac{|-a^2||\frac{2a^2}{(a+1)^2}|}{2}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2a^4}{(a+1)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 4a^4-(a+1)^2=0\Leftrightarrow (2a^2-a-1)(2a^2+a+1)=0\)
Giải pt dễ dàng tìm được \(\left[\begin{matrix} a=1\\ a=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (t/m)
Do đó \(M\in\left\{(1,1); (\frac{-1}{2}, -2)\right\}\)
