Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\left(-4;+\infty\right)\) và thoả mãn f(-3)=3, f(x)>0, f'(x)>0, \(\frac{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2\sqrt{x+4}+1}{f'\left(x\right)}\) với mọi \(x\in\left(-4;+\infty\right)\) . Khẳng định nào sau đây đúng
\(A.f\left(5\right)\in\left(11;13\right)\)
\(B.f\left(5\right)\in\left(12;14\right)\)
\(C.f\left(5\right)\in\left(13;15\right)\)
\(D.f\left(5\right)\in\left(14;16\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế: \(\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)
\(\Leftrightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)
Xét \(I=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}}.\frac{1}{\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)
Đặt \(\sqrt{x+4}+x+5=t\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2\sqrt{x+4}}+1\right)dx=dt\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}}dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{dt}{t}=lnt+C=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)+C\)
\(\Rightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)+C\)
Thế \(x=-3\) vào biểu thức trên:
\(ln\left(3\right)=ln\left(2+1\right)+C\Leftrightarrow C=0\)
\(\Leftrightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x+5+\sqrt{x+4}\)
\(\Rightarrow f\left(5\right)=13\)
