Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

D.Công Thiện

Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int_0^{\frac{1}{2}}f\left(\sqrt{1-2x^2}\right)dx\) = \(\frac{7}{6}\) và f (\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) =1. Tính I = \(\int_0^{\frac{\Pi}{4}}f'\left(cosx\right)sin^2xdx\)

A. \(\frac{1}{2}\) B.\(\frac{\sqrt{2}}{3}\) C. \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\) D. 1

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 8 2020 lúc 4:57

Đặt \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}sint\Rightarrow dx=\frac{\sqrt{2}}{2}cost.dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\int\limits^{\frac{1}{2}}_0f\left(\sqrt{1-2x^2}\right)dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0f\left(cost\right).costdt=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0f\left(cosx\right)cosxdx=\frac{7}{6}\)

\(\Rightarrow J=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0f\left(cosx\right).cosx.dx=\frac{7\sqrt{2}}{6}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(cosx\right)\\dv=cosx.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-sinx.f'\left(cosx\right)dx\\v=sinx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=sinx.f\left(cosx\right)|^{\frac{\pi}{4}}_0+\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0f'\left(cosx\right)sin^2x.dx=\frac{\sqrt{2}}{2}+I\)

\(\Rightarrow I=\frac{7\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
Huỳnh Lê Đạt
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
ly kim
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết