Bài 1: Phân thức đại số.

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Xuân Lộc

Cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)

chứng minh luôn tồn tại hai số bằng nhau

Akai Haruma
23 tháng 11 2017 lúc 1:16

Lời giải:

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{abc}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2=a^2b+b^2c+c^2a\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=0\)

\(\Leftrightarrow ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-c)=0\)

\(\Leftrightarrow ab(b-a)-bc[(b-a)+(a-c)]+ac(a-c)=0\)

\(\Leftrightarrow (b-a)(ab-bc)+(a-c)(ac-bc)=0\)

\(\Leftrightarrow b(b-a)(a-c)-c(a-c)(b-a)=0\)

\(\Leftrightarrow (b-a)(a-c)(b-c)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)

Do đó luôn tồn tại hai số bằng nhau (đpcm)

 Mashiro Shiina
23 tháng 11 2017 lúc 1:21

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2c}{abc}+\dfrac{b^2a}{abc}+\dfrac{c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c}{abc}+\dfrac{a^2b}{abc}+\dfrac{c^2a}{abc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c+a^2b+c^2a}{abc}\)

\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+a^2b+c^2a\)

\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-a^2b-c^2a=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2c-c^2a\right)+\left(b^2a-a^2b\right)+\left(c^2b-b^2c\right)=0\)

\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b\right)=0\)

\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b+a-a\right)=0\)

\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-a\right)+bc\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\left(c-a\right)=0\)

\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\left(a-c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=b\\a=c\\a=b\end{matrix}\right.\)(Tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau)


Các câu hỏi tương tự
tống lê kim liên
Xem chi tiết
Ngọc Trần
Xem chi tiết
minh vo
Xem chi tiết
Mộc Miên
Xem chi tiết
nguyễn họ hoàng
Xem chi tiết
Lò Phạm Phương Linh
Xem chi tiết
Ngọc Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hiền
Xem chi tiết
Huyền Anh Lê
Xem chi tiết