Question

Cho đương tròn tâm (O), đườn kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho OI< AI. Kẻ dây MNAB tại I, gọi C là tiếp điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N, B. Gọi E là giao điểm của AC và MN

a) CMR: tứ giác IEBC nội tiếp

b)CMR: =AE.AC

c)CMR: AE. AC- AI. BI= . CM: M, B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE thẳng hàng

d)Với I cố định, xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE nhỏ nhất

Answer 1

1. Theo giả thiết MN ⊥AB tại I => ∠EIB = 90⁰; ∠ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ∠ACB = 90⁰ hay ∠ECB = 90⁰

=> ∠EIB + ∠ECB = 180⁰ mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp .

2. Theo giả thiết MN ⊥AB => A là trung điểm của cung MN => ∠AMN = ∠ACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ∠AME = ∠ACM. Lại thấy ∠CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.

3. Theo trên ΔAME ~ ΔACM => => AM² = AE.AC

4. ∠AMB = 90⁰ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN ⊥AB tại I => ΔAMB vuông tại M có MI là đường cao => MI² = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) .

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vuông tại I ta có AI² = AM² – MI² => AI² = AE.AC - AI.BI .

5. Theo trên ∠AMN = ∠ACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔECM; Nối MB ta có ∠AMB = 90⁰ , do đó tâm O₁ của đường tròn ngoại tiếp ΔECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO₁ nhỏ nhất khi NO₁ là khoảng cách từ N đến BM => NO₁ ⊥BM.

Gọi O₁ là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O₁ là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM có bán kính là O₁M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O₁ bán kính O₁M với đường tròn (O) trong đó O₁ là hình chiếu vuông góc của N trên BM.

Lưu ý kí hiệu:∠ có nghĩa là góc.