Cho đường tròn tâm O bán kính R không đổi, AB và CD là 2 đường kính bất kỳ của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam giác BPQ.
a) Chứng minh tam gác APH đồng dạng với tam giác ABQ.
b) Chứng minh AH=\(\dfrac{R}{2}\)
c) hai đường kính AB, CD phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác BPQ nhỏ nhất?
b) Chứng minh AH = \(\dfrac{R}{2}\)
Từ câu a) suy ra: \(\dfrac{AH}{AQ}=\dfrac{AP}{AB}\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{AP.AQ}{AB}=\dfrac{\dfrac{AN}{2}.\dfrac{AM}{2}}{AB}=\dfrac{AN.AM}{4AB}=\dfrac{AB^2}{4AB}\)
( Tam giác BCD vuông tại B vì CD là đường kính
nên BMN vuông tại B, có BA là đường cao nên AM.AN = AB2 ,theo hệ thức lượng trong tam giác vuông) \(=\dfrac{AB}{4}=\dfrac{2R}{4}=\dfrac{R}{2}\)
c) SBPQ = \(\dfrac{AB.PQ}{2}=\dfrac{AB\left(AP+AQ\right)}{2}=\dfrac{AB.\left(\dfrac{AN+AM}{2}\right)}{2}=\dfrac{AB.\left(AN+AM\right)}{4}\)
SBPQ nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{AB\left(AN+AM\right)}{4}\) nhỏ nhất
Mà AB = 2R không đổi
Nên SBPQ nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) AM + AN nhỏ nhất
Vì AM.AN = AB2 = 4R2 không đổi
Nên AM + AN nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\)AM = AN \(\Leftrightarrow\) AB\(\perp\)CD
