Cho đường tròn (O,R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Gọi M là trung điểm của OA , CM cắt (O) tại N . Đường thẳng vuông góc với Ab tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O) ở P
1, Cm tứ giaccs OMNP nội tiếp
2, H và K lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng BN với CD và AD. Cm tứ giác CMPO là hình bình hành
3, Cm OK vuông góc với AD
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O;R), đường kính BC cắt AB,AC lần lượt ở M và N. BN cắt CM tại D
a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp
b) Chứng minh góc MAD = OMC
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMDN. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O;R)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E , kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng DE cắt CK tại F . Chứng minh :
a, Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn
b, AH . AD = AD^2
c, Tam giác ACF cân
Cho đường tròn tâm O có hai đường kính là AB và CD vuông góc với nhau tại O. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, AM cắt CD tại I. Tiếp tuyến của O tại M cắt tia AB tại N. Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMI.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. I tiếp điểm OA. Dân CD vuông góc AB tại I. K thuộc góc BC, AK cắt CD tại H.
a) CM tứ giác BIHK nội tiếp
b) CM AH.AK không phụ thuộc vị trí điểm K
c) Kẻ DN vuông góc CB, DM vuông góc AC. CM MN, AB, CD đồng quy
Cho đường tròn (O;R) và các tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nằm ngoài đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của BC và OA.
a) CMR: OA vuông góc với BC và \(OH.OA=R^2\)
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O) và kẻ đường thẳng CK vuông góc với BD (K thuộc D). CMR: AO song song với CD và AC.CD=CK.AO
c) Gọi I là giao điểm của AD và CK. CMR: Tam giác BIK và tam giác CHK có diện tích bằng nhau
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AO cắt (O) tại điểm M khácA. Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) tại N khác C. Gọi K là giao của MN với BC.a) Chứng minh tam giác KCN cânb) Chứng minh OK vuông góc với BMc) Khi tam giác ABC cân tại A, 2 tiếp tuyến của (O) tại M và N cắt nhau tại P. Chứng minh P, B, Othẳng hàng
Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. C/minh:
a, Tứ giác OMNP nội tiếp được
b, Tứ giác CMPO là hình bình hành
c, Tích CM . CN không đổi
d, Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của đường tròn (O;R), gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BK. Chứng minh: ba điểm M, I, D thẳng hàng
Cho (O;R) và dây AB. Các tiếp tuyến tại A và B, của (O) cắt nhau tại C. a) C/m: Tứ giác ACBO nội tiếp. b) Lấy điểm I trên đoạn AB ( IB < IA). Từ điểm I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt AC tại E và cắt đường thẳng BC tại D. C/m: góc IBO = góc IDO. c) C/m: OE = OD. d) C/m: Cho góc AOB = 120°. Tính độ dài đoạn thẳng OE khi OI = 2R/3
