Question

Cho đường tròn (O; R) dây cung AB không qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Biết AB = \(R\sqrt{2}\) thì AM bằng:

A. \(R\sqrt{3}\)

B. \(R\sqrt{1+\sqrt{2}}\)

C. \(R\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

D. \(R\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Answer 1

Đáp án : C

Gọi giao điểm của OM và AB là I

Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ AB

=> OM vuông góc với AB và OM đi qua trung điểm của AB

=> \(AI=IB=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Xét tam giác OAI vuông tại I:

\(OA^2=OI^2+AI^2\)(py-ta-go)

=> \(OI^2=OA^2-AI^2=R^2-\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{R^2}{2}\)

=> OI = \(\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

=> MI = \(R-\frac{R\sqrt{2}}{2}=\left(2-\sqrt{2}\right)\frac{R}{2}\)

Xét tam giác AIM có

\(AM^2=AI^2+IM^2\) (Py-ta-go)

=> \(AM^2=\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left[\left(2-\sqrt{2}\right).\frac{R}{2}\right]^2=\frac{R^2}{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)^2.\frac{R^2}{4}\)

..................

Từ đó ra đáp án C

Answer 2

Xét tam giác OAH vuông tại H có

\(OH=\sqrt{R^2-\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{R}{\sqrt{2}}\)

=> \(HM=R-\frac{R}{\sqrt{2}}=R\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

Xét tam giác AHM vuông tại H có: \(AM^2=\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(R\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)=R^2\left(\frac{1}{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)\)(Đl pitago)

Suy ra: AM = \(R\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

=> Chọn C.