Question

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K 

1. Chứng minh 4 điểm C , N , K . I cùng thuộc 1 đường tròn

2. Chứng minh NB^2 = NK.NM

Answer 1

1: M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

=>sđ cung MA=sđ cung MB

N là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

=>Sđ cung NB=sđ cung NC

Xét (O) có \(\hat{CKN}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung CN và BM

=>\(\hat{CKN}\) =1/2(sđ cung CN+sđ cung BM)

=1/2(sđ cung NB+sđ cung BM)=1/2*sđ cung NM(1)

Xét (O) có \(\hat{CIN}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung CN và MA

=>\(\hat{CIN}\) =1/2(sđ cung CN+sđ cung MA)

=1/2(sđ cung NB+sđ cung MB)

=1/2sđ cung MN(2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{CIN}=\hat{CKN}\)

=>CNKI là tứ giác nội tiếp

=>CNKI là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{NBC}\) là góc nội tiếp chắn cung NC

\(\hat{NMB}\) là góc nội tiếp chắn cung NB

sđ cung NC=sd cung NB

Do đó: \(\hat{NBC}=\hat{NMB}\)

Xét ΔNBK và ΔNMB có

\(\hat{NBK}=\hat{NMB}\)

góc BNK chung

Do đó: ΔNBK~ΔNMB

=>\(\frac{NB}{NM}=\frac{NK}{NB}\)

=>\(NB^2=NK\cdot NM\)