cho đường tròn (O) đường kính AB: C là một điểm thuộc đường tròn sao cho CA > CB . Vẽ tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, CD cắt AB tại E . Trên tia CB lấy điểm M sao cho CM = CA . Từ M kẻ tia Mx // CA cắt tia CD tại N , AN cắt đường tròn (O) tại F . Gọi K là giao điểm của BD và MN.
a, chứng minh \(DB^2=DC\cdot DE\)
b,chứng minh C, O, F thẳng hàng
c, chứng minh tứ giác ABMK nội tiếp đường tròn
a) Chứng minh \(DB^2=DC\times DE\)
\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{AD}\right)\)
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(\text{CE là đường phân giác của }\Delta ACB\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_2}\)
\(\Rightarrow\Delta DBE\sim\Delta DCB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{ED}{BD}\)
\(\Rightarrow BD^2=CD\times ED\)
b) Chứng minh C, O, F thẳng hàng
\(\odot\text{ Theo gt, ta có: MK // AC}\) \(\text{mà }AC\perp CM\) \(\text{nên }CM\perp MK\)
\(\odot\text{ Mặt khác: }\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)
\(\text{mà }\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\left(\text{2 góc so le trong, AC // MK}\right)\)
\(\odot\text{ Suy ra }\Delta MCN\text{ vuông tại M có }\widehat{D_1}=45^0\)
\(\Rightarrow\Delta MCN\text{ vuông cân tại M}\)
\(\Rightarrow MC=MN\text{ mà }MC=AC\left(gt\right)\Rightarrow MN=AC\)
\(\odot\text{ Hình thang ACMN (do AC // MK) có }MN=AC\)
\(\Rightarrow AN=MC=AC=MN\)
\(\Rightarrow\text{ ACMN là hình vuông}\)
\(\Rightarrow\widehat{FAC}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{ FC là đường kính}\)
\(\text{hay O, C, F thẳng hàng}\)
c) Chứng minh ABMK nội tiếp
\(\widehat{M_1}=\widehat{C_1}\left(\text{ACMN là hình vuông}\right)\)
\(\widehat{C_1}=\widehat{B_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{AD}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{M_1}=\widehat{B_1}\)
\(\Rightarrow\text{ ABMK nội tiếp}\)
