Question

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ 2 tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax và By lấy lần lượt 2 đỉểm C và D sao cho \(\widehat{COD}=90^o\) (O là trung điểm của AB). Chứng minh:

a, CD = AC + BD

b, CD là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AB

c, \(AC\cdot BD=\dfrac{AB^2}{4}\)

Answer 1

Tự vẽ hình nha :) T làm ngắn gọn :)

a, Kéo dài OC cắt BD tại K

Kẻ OH vuông góc với CD (\(H\in CD\))

C/m: \(\Delta ACO=\Delta BKO\) (g.c.g)\(\Rightarrow AC=BK\)

\(\Rightarrow OC=OK\) \(\Rightarrow\Delta CDK\) cân tại D \(\Rightarrow DC=DK\) (1)

\(\Rightarrow\widehat{HCO}=\widehat{BKO}\)

\(\Rightarrow\Delta HCO=\Delta BKO\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow HC=BK\) (2) mà \(AC=BK\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow DH=BD\)

\(\Rightarrow AC+BD=DH+HC=CD\)

b, \(\Delta HCO=\Delta BKO\) (câu a)\(\Rightarrow OH=OB\)

H thuộc đường tròn tâm O mà OH vuông góc với CD

\(\Rightarrow\) CD là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AB

c,\(\Delta ACO\sim\Delta BOD\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AO}=\dfrac{OB}{BD}\Rightarrow AC.BD=OA^2\)

Mà \(OA=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow OA^2=\dfrac{AB^2}{4}\)

\(\Rightarrow AC.BD=\dfrac{AB^2}{4}\)