Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O;R) đường kính MN với C khác M, C khác N và CM < CN. Trên nửa mặt phẳng bờ MN chứa điểm C, kẻ các tia tiếp tuyến Mx, Ny với (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt Mx, Ny lần lượt tại A, B.
1. Chứng minh tứ giác ACOM nội tiếp.
2. Cho OB = 2R. Tính độ dài đoạn BN theo R và số đo NBC.
3. Gọi I là giao điểm của AN với BM, E giao điểm của OA với CM và F là giao điểm của OB với CN. Chứng minh CI vuông góc MN và ba điểm E, I, F thẳng hàng.
a, - Ta có : CA, MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O .
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp MO\\CO\perp CA\end{matrix}\right.\)
- Xét tứ giác ACOM có : \(\widehat{AMO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\)
=> Tứ giác ACOM nội tiếp đường tròn .
b, - Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác OBN vuông tại N có :
\(ON^2+NB^2=OB^2\)
- Thay số : \(R^2+BN^2=4R^2\)
=> \(BN=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}\left(cm\right)\)
- Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác OBN vuông tại N có :
\(TanOBN=\frac{ON}{BN}=\frac{R}{R\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
=> \(\widehat{OBN}=30^o\)
Mà 2 tiếp tuyến CB, BN cắt nhau tại B .
=> OB là phân giác của góc NBC .
=> \(\widehat{OBN}=\frac{1}{2}\widehat{NBC}\)
=> \(\widehat{NBC}=60^o\)
