Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC. Từ M thuộc cung nhỏ BC về MD vuông góc BC, ME vuông góc AC, MF vuông góc AB
a) Chứng minh góc DME bằng góc DMF và MD2 = ME.MF
b) Gọi P là giao điểm của MB và DF; MC cắt DE tại Q. Chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPF và MQE cắt nhau tại N. Chứng minh MN luôn qua một điểm cố định
Các bạn giúp mình nha
a) Xét (O): AB, AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A.
\(\Rightarrow\)AB=AC nên △ABC cân tại A.
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)
Tứ giác CDME có: \(\widehat{CDM}+\widehat{CEM}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\)CDME là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{DME}+\widehat{ACB}=180^0\left(2\right)\)
Tứ giác BDMF có: \(\widehat{BDM}+\widehat{BFM}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\)BDMF là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{DMF}+\widehat{ABC}=180^0\left(3\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\widehat{DME}=\widehat{DMF}\)
Xét (O): \(\widehat{ACM}=\widehat{MBC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MC}\right)\)
Lại có:
\(\widehat{ACM}=\widehat{MDE}\) (CDME nội tiếp)
\(\widehat{MBC}=\widehat{MFD}\) (BDMF nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{MDE}=\widehat{MFD}\)
Xét △MDE và △MFD có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MDE}=\widehat{MFD}\\\widehat{DME}=\widehat{FMD}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MDE\sim\Delta MFD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MD}{MF}=\dfrac{ME}{MD}\Rightarrow MD^2=ME.MF\)
b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EMC}+\widehat{ACM}=90^0\\\widehat{MBC}+\widehat{BMD}=90^0\end{matrix}\right.\)
Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{MBC}\Rightarrow\widehat{EMP}=\widehat{QMD}\)
Xét (O): \(\widehat{ABM}=\widehat{MCB}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{MB}\right)\)
Lại có:
\(\widehat{ABM}=\widehat{MDQ}\) (BDMF nội tiếp)
\(\widehat{MCB}=\widehat{MEP}\) (CDME nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{MDQ}=\widehat{MEP}\)
Xét △MPE và △MQD có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MEP}=\widehat{MDQ}\\\widehat{EMP}=\widehat{DMQ}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MPE\sim\Delta MQD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EPM}=\widehat{DQM}\)
Mặt khác \(\widehat{EPM}\) là góc ngoài của tứ giác MPDQ.
Nên MPDG là tứ giác nội tiếp.
