Question

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Vẽ cung tròn tâm A cắt đường thẳng a ở B và C. Vẽ các cung tròn tâm B và C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại một điểm khác A, gọi đó là điểm D. Hãy giải thích vì sao AD vuông góc với đường thẳng a.

Answer 1

Hình minh họa thôi nhé !

*) Trường hợp D và A nằm khác phía đối với a (chứng minh tương tự).

Vì cung tròn tâm A cắt a ở B và C nên \(\text{AB = AC}\). Mặt khác cung tâm B và C có cùng bán kính cắt nhau tại D nên \(\text{DB = DC.}\)

\(\text{Xét ΔABD và ΔACD có :}\)
\(\text{AB = AC (gt)}\)
\(\text{BD = CD (gt)}\)
\(\text{AD là cạnh chung}\)
\(\text{ΔABD = ΔACD (c.c.c) ⇒∠A1 = ∠A2 (góc tương ứng)}\)

\(\text{Xét ΔAHB và ΔAHC có:}\)
\(\text{AB = AC (gt)}\)
\(\text{∠A1 = ∠A2 (c/m trên)}\)
\(\text{AH là cạnh chung}\)
\(\text{⇒ ΔAHB = ΔAHC (c.g.c)}\)
\(\text{⇒∠AHB = ∠AHC (góc tương ứng)}\)
\(\text{Mà ∠AHB +∠AHC = 180^o ( 2 góc kề bù )}\)
\(\text{⇒ ∠AHB = ∠AHC = 90^o}\)
\(\text{⇒ AD ⊥ a}\)

*) Trường hợp D và A nằm cùng phía đối với a (chứng minh tương tự).

Answer 2

*) Trường hợp D và A nằm khác phía đối với a (chứng minh tương tự).

Vì cung tròn tâm A cắt a ở B và C nên AB = AC. Mặt khác cung tâm B và C có cùng bán kính cắt nhau tại D nên DB = DC.

Xét ΔABD và ΔACD có :
AB = AC (gt)
BD = CD (gt)
AD là cạnh chung
ΔABD = ΔACD (c.c.c) ⇒∠A1 = ∠A2 (góc tương ứng)

Xét ΔAHB và ΔAHC có:
AB = AC (gt)
∠A1 = ∠A2 (c/m trên)
AH là cạnh chung
⇒ ΔAHB = ΔAHC (c.g.c)
⇒∠AHB = ∠AHC (góc tương ứng)
Mà ∠AHB +∠AHC = 180^o ( 2 góc kề bù )
⇒ ∠AHB = ∠AHC = 90^o
⇒ AD ⊥ a

*) Trường hợp D và A nằm cùng phía đối với a (chứng minh tương tự)