Question

-cho \(\Delta\)ABC vuông ở A có AH là đường cao và BE là đường phân giác ( H thuộc BC, E thuộc AC) .kẻ AD\(\perp\)BE tại D

a)CMR: tứ giác ABHD nội tiếp (O)

b)CMR:\(\widehat{HDC}=\widehat{CEH}\)

Answer 1

a/ Vì \(AH\perp BC\) tại H \(\Rightarrow\widehat{AHB}=90^o\)

\(AD\perp BE\) tại D \(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^o\)

Xét tứ giác ABHD có: \(\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABHD nội tiếp (O) ( Tứ giác có 2 góc kề 1 cạnh bằng nhau thì là tứ giác nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{H_1}\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{E_1}=90^o\) ( 2 góc nhọn phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{H_1}+\widehat{E_1}=90^o\) ( vì \(\widehat{B_1}=\widehat{H_1}\) ) (1)

Ta có \(\widehat{H_1}+\widehat{DHC}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{DHC}\)

Ta lại có: \(\widehat{E_1}+\widehat{DEC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DHC}+\widehat{DEC}=180^o\)

Xét tứ giác DECH có: \(\widehat{DHC}+\widehat{DEC}=180^o\) (cmt)

\(\Rightarrow\) Tứ giác DECH nội tiếp ( Tứ giác có tổng số đo 2 góc đối bằng 180^o là tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{HDC}=\widehat{CEH}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CH)