Lời giải:
1.
Xét tam giác $ABH$ và $ACH$ có:
$AH$ chung
$AB=AC$ (do $ABC$ cân tại $A$)
$BH=CH$ (do $H$ là trung điểm của $BC$)
$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACH$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$
Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=\widehat{BHC}=180^0$
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$
$\Rightarrow AH\perp BC$
2. Dễ thấy $ME\parallel DA, MD\parallel AE$
Xét tam giác $ADM$ và $MEA$ có:
$\widehat{DAM}=\widehat{EMA}$ (so le trong)
$\widehat{DMA}=\widehat{EAM}$ (so le trong)
$MA$ chung
$\Rightarrow \triangle ADM=\triangle MEA$ (g.c.g)
$\Rightarrow DM=EA(1), AD=ME$
Do $ABC$ là tam giác vuông cân nên $\widehat{B}=45^0$
Tam giác $BDM$ vuông tại $D$ có góc $\widehat{B}=45^0$ nên là tam giác vuông cân. $\Rightarrow BD=DM(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow BD=AE$
Mà $AB=AC\Rightarrow AB-BD=AC-AE\Leftrightarrow AD=EC$ (đpcm)
3.
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:
$MB^2+MC^2=(BD^2+DM^2)+(ME^2+EC^2)$
$=(DM^2+DM^2)+(AD^2+AD^2)=2(DM^2+AD^2)=2AM^2$ (đpcm)
