Question

Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn, \(\widehat{BAC}\) = 45\(\Delta\:ABC\) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H với (D \(\in AC\) ; \(E\in AB\))

a) CM: ADHE & BEDC nội tiếp

b) CM: \(\Delta ADE\sim\Delta ABC\) & tính tỉ số \(\frac{DE}{BC}\)

c) CM: OA \(\perp\) DE

Answer 1

a) Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp

Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\)

Suy ra tứ giác BEDC nội tiếp

b) Ta có tứ giác BEDC nội tiếp\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

Xét △ADE và △ABC có

\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)(cmt)

\(\widehat{A}\) chung

Suy ra △ADE \(\sim\) △ABC(g-g)\(\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=cos_{\widehat{BAD}}=cos_{45^0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

c) Vẽ đường kính AOK

Ta có \(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{AED}+\widehat{EAO}=\widehat{ACB}+\widehat{BAK}=\frac{sd\stackrel\frown{AB}}{2}+\frac{sd\stackrel\frown{BK}}{2}=\frac{sd\stackrel\frown{AB}+sd\stackrel\frown{BK}}{2}=\frac{sd\stackrel\frown{AK}}{2}=\frac{180^0}{2}=90^0\Rightarrow\)OA⊥DE