a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AF là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(do F là trung điểm của BC)
nên AF cũng là đường cao của ΔABC(định lí tam giác cân)
Xét tứ giác AFCO có
E là trung điểm của đường chéo AC(gt)
E là trung điểm của đường chéo OF(do O và F đối xứng nhau qua E)
Do đó: AFCO là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Xét hình bình hành AFCO có \(\widehat{AFC}=90\)độ(do AF⊥BC)
nên AFCO là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB(gt)
E là trung điểm của AC(gt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(DE\)//BC và \(DE=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: AF⊥BC(do AF là đường cao của ΔABC)
mà DE//BC(cmt)
nên DE⊥AF(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: AO=FC(do AO và FC là hai cạnh đối của hình chữ nhật AOCF)
mà FC=BF(do F là trung điểm của BC)
nên AO=BF(1)
Ta có: \(DE=\frac{BC}{2}\)(cmt)
mà \(FC=BF=\frac{BC}{2}\)(do F là trung điểm của BC)
nên DE=BF=FC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO=DE
Ta có: AB=AC(do ΔABC cân tại A)
mà AC=FO(do AC và FO là hai đường chéo của hình chữ nhật AOFC)
nên AB=FO
\(\Rightarrow\frac{AB}{2}=\frac{FO}{2}\)(3)
mà \(AD=\frac{AB}{2}\)(do D la trung điểm của AB) (4)
và \(OE=\frac{FO}{2}\)(do E là trung điểm của FO) (5)
nên từ (3),(4),(5)suy ra AD=OE
Xét tứ giác ADEO có AD=OE(cmt) và AO=DE(cmt)
nên ADEO là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\(\Rightarrow AE\) và DO cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà \(AE\cap DE=\left\{P\right\}\)(gt)
nên P là trung điểm của AE
Ta có: DE//BC(cmt)
mà F∈BC(do F là trung điểm của BC)
nên DE//FC
Xét tứ giác DECF có
DE//FC(cmt) và DE=FC(cmt)
nên DECF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒2 đường chéo DC và FE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà \(DC\cap FE=\left\{Q\right\}\)(gt)
nên Q là trung điểm của FE
Xét ΔEAF có
P là trung điểm của AE(cmt)
Q là trung điểm của FE(cmt)
Do đó: FQ là đường trung bình của ΔEAF(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒FQ//AF(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: DE⊥AF(cmt)
FQ//AF(cmt)
Do đó: DE⊥FQ(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)(đpcm)
