Gọi K là giao điểm của \(DC\) và \(HF.\)
+ Vì \(AD=AH\left(gt\right)\)
=> A là trung điểm của \(DH.\)
=> \(AC\) là đường trung tuyến của \(\Delta HCD.\)
+ Vì E là trung điểm của \(HC\left(gt\right)\)
=> \(DE\) là đường trung tuyến của \(\Delta HCD.\)
Mà \(DE\cap AC=\left\{F\right\}\left(gt\right)\)
=> F là trọng tâm của \(\Delta HCD.\)
=> \(HF\) là đường trung tuyến của \(\Delta HCD.\)
Hay \(HF\) cắt \(DC\) tại trung điểm của \(DC.\)
Mà \(DC\cap HF=\left\{K\right\}\) (do cách vẽ).
=> K là trung điểm của \(DC.\)
=> \(HK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DC\) trong tam giác vuông \(HCD.\)
=> \(HK=\frac{1}{2}DC\) (tính chất tam giác vuông) (1).
+ Vì F là trọng tâm của \(\Delta HCD\left(cmt\right).\)
=> \(HF=\frac{2}{3}HK\) (tính chất trọng tâm) (2).
Từ (1) và (2) => \(HF=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}DC\)
=> \(HF=\frac{1}{3}DC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
