a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AH^2=AE\cdot AB\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AH^2=AF\cdot AC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
Xét ΔAFE và ΔABC có
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)(cmt)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAFE∼ΔABC(c-g-c)
Ta có: BC=BH+CH(H nằm giữa B và C)
hay BC=1,6+2,5=4,1cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=1.6\cdot4.1=6.56\\AC^2=2.5\cdot4.1=10.25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{6.56}=\frac{2\sqrt{41}}{5}cm\\AC=\sqrt{10.25}=\frac{\sqrt{41}}{2}cm\end{matrix}\right.\)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
\(\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{41}}{5}\cdot\frac{\sqrt{41}}{2}}{2}=\frac{41}{5}\cdot\frac{1}{2}=4.1cm^2\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh BC, ta được:
\(AH^2=HB\cdot HC=1.6\cdot2.5=4\)
hay \(AH=\sqrt{4}=2cm\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh AB, ta được:
\(AH^2=AE\cdot AB\)
\(\Leftrightarrow2^2=AE\cdot\frac{2\sqrt{41}}{5}\)
\(\Leftrightarrow AE=4:\frac{2\sqrt{41}}{5}=4\cdot\frac{5}{2\sqrt{41}}=\frac{10\sqrt{41}}{41}cm\)
Ta có: ΔAFE∼ΔABC(cmt)
\(\Leftrightarrow\frac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AE}{AC}\right)^2=\left(\frac{10\sqrt{41}}{41}:\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{S_{AFE}}{4.1}=\left(\frac{10\sqrt{41}}{41}\cdot\frac{2}{\sqrt{41}}\right)^2=\frac{400}{1681}\)
\(\Leftrightarrow S_{AFE}=\frac{400\cdot4.1}{1681}=\frac{40}{41}cm^2\)
