Question

Cho ΔABC nội tiếp (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt (O) tại D.

a. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.

b. Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm.

c. Chứng minh AE.AC=AF.AB

d. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M, H, D thẳng hàng và OM=AH/2

Answer 1

\(a,\widehat{ACD}=90^0\)(góc nt chắn nửa đường tròn) nên \(AC\perp CD\) hay \(BE//CD\left(\perp AC\right)\left(1\right)\)

\(\widehat{ABD}=90^0\)(góc nt chắn nửa đường tròn) nên \(AB\perp BD\) hay \(BD//CF\left(\perp AB\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow BHCD\) là hbh

\(b,\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\) nên \(BFEC\) nội tiếp

Do đó \(B;F;E;C\) cùng thuộc 1 đường tròn tâm là trung điểm BC

\(c,\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AFC}=\widehat{AEB}\\\widehat{BAC}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AFC\sim\Delta AEB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

\(d,\left\{{}\begin{matrix}BHCD.là.hbh\\BM=MC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow HM=MD\Rightarrow H;M;D\) thẳng hàng

\(\left\{{}\begin{matrix}AO=OD\left(=R\right)\\HM=MD\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow OM\) là đtb tam giác AHD

\(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\)