Question

Cho đa thức: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+2018\) có các hệ số a,b là các số hữu tỉ và \(f\left(1+\sqrt{2}\right)=2019\). Tìm các giá trị của a và b

Answer 1

Lời giải:

\(f(1+\sqrt{2})=a(1+\sqrt{2})^2+b(1+\sqrt{2})+2018=2019\)

\(\Leftrightarrow a(3+2\sqrt{2})+b(1+\sqrt{2})=1\)

\(\Leftrightarrow (3a+b)+\sqrt{2}(2a+b)=1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(2a+b)=1-3a-b(*)\)

Vì $a,b\in\mathbb{Q}$ nên $1-3a-b\in\mathbb{Q}$ và $2a+b\in\mathbb{Q}$

Mà $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$ (kết quả quen thuộc) nên để $(*)$ xảy ra thì \(\left\{\begin{matrix} 2a+b=0\\ 1-3a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-2\end{matrix}\right.\)