Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Vẽ tia phân giác của góc HAB ( D ∈ BC) . Kẻ DK vuông góc với AB
a, CM : Δ AKD =Δ AHD
b, Gọi giao điểm của AH và DK là I
CM : IH=KB
C, CM : HK // IB
d, Các đường phân giác của Δ ACK cắt nhau tại M .
Gọi N là giao điểm của CM và AH
CM : N là trực tâm của Δ ACD
Xét \(\Delta AKD \) và \(\Delta AHD \) ta có:
AD chung
\(\widehat{DKA}=\widehat{DHA}=90^o\)
\(\widehat{KAD}=\widehat{HAD}\)(AD là tia p/g của \(\widehat{HAB}\))
Do đó \(\Delta AKD \)=\(\Delta AHD \)(cạnh huyền-góc nhọn)
Vậy KD=HD(hai cạnh tương ứng)
AH = AK(hai cạnh tương ứng)
b)Xét \(\Delta BKD\) và \(\Delta IHD\) ta có :
KD=HD(cmt)
\(\widehat{BDK}=\widehat{IDH}\)(đối đỉnh)
\(\widehat{BKD}=\widehat{IHD}=90^o\)
Do đó \(\Delta BKD\)=\(\Delta IHD\)(g-cg)
Vậy IH=IK
c)Vì AH=AK
IH=IK
\(\Rightarrow\) AH+IH=AK+BK
Mà AH+IH=AI
AK+BK=AB
\(\Rightarrow\)AI=AB
Vì \(\Delta AIB\) có AI=AB nên \(\Delta AIB\) là tam giác cân:
Vậy \(\widehat{AIB}=\widehat{ABI} \) (hai góc đáy)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AIB}=\widehat{ABI} =\dfrac{180^o-\widehat{IAB}}{2}\)(1)
Vì \(\Delta AHK\) có AH=AK nên \(\Delta AHK\) là tam giác cân:
Vậy \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)(hai góc đáy)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^o-\widehat{IAB}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\widehat{AHK}=\widehat{AIB}\)
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên HK//IB
