Question

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=1\)

Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\Sigma\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\Sigma\sqrt{\frac{a}{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Answer 2

Cái đầu hơi sai.

\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(1-a\right)}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\); CMTT với b và c rồi cộng vào bằng BĐT Svarxo:

\(\Sigma\frac{a}{\sqrt{ab+bc}}\)\(\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{ab+bc}+\sqrt{bc+ca}+\sqrt{ca+ab}}\)\(\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{6\left(ab+bc+ca\right)}}\)

Đến đây tự làm