Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tường Nguyễn Thế

Cho các số nguyên a, b, c khác ) thoả mãn điều kiện : \(\dfrac{5b+2c\left(4+c^6\right)}{a+b+c}=1.\) Chứng minh rằng: \(a^7+3b^7-2c\) chia hết cho 7.

Akai Haruma
29 tháng 12 2017 lúc 11:58

Lời giải:

Đặt \(A=a^7+3b^7-2c\)

Ta có: \(\frac{5b+2c(4+c^6)}{a+b+c}=1\)

\(\Leftrightarrow 5b+2c(4+c^6)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow 4b+7c+2c^7=a\)

----------------------------------------

Ta có bổ đề sau: Với mọi số tự nhiên $n$ nào đó thì \(n^7\equiv n\pmod 7\)

Chứng minh :

Thật vậy.

Với \(n\equiv 0\pmod 7\) thì \(n^7\equiv 0\equiv n\pmod 7\)

Với \(n\not\equiv 0\pmod 7\) hay \((n,7)=1\). Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:

\(n^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^7\equiv n\pmod 7\)

Ta có đpcm.

--------------------

Quay trở lại bài toán:

Áp dụng bổ đề trên ta có:

\(A=a^7+3b^7-2c\equiv a+3b-2c^7\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 4b+7c+2c^7+3b-2c^7\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 7b+7c\equiv 0\pmod 7\)

Hay \(A\vdots 7\)

Chứng minh hoàn tất.


Các câu hỏi tương tự
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Yu gi Oh Magic
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết
Gia An Ho
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
missing you =
Xem chi tiết
Lê Bình
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết