Question

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=2020

Tìm Max của biểu thức \(P=\frac{a}{a+\sqrt{2020a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2020b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2020c+ab}}\)

Answer 1

\(\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2020a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+\sqrt{2020b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\) ; \(\frac{c}{c+\sqrt{2020c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế với vế: \(P\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)