Điều kiện : \(a\ne1\)
\(A=\left(1+\frac{a}{a^2+1}\right):\left(\frac{1}{a-1}+\frac{2a}{a^2+1-a^3-a}\right)-1\)
\(=\frac{a^2+a+1}{a^2+1}:\left(\frac{-a^2-1}{\left(1+a^2\right)\left(1-a\right)}+\frac{2a}{\left(1+a^2\right)\left(1-a\right)}\right)-1\)
\(=\frac{a^2+a+1}{a^2+1}.\frac{\left(a-1\right)\left(1+a^2\right)}{\left(a-1\right)^2}-1=\frac{a^2+a+1}{a-1}-1=\frac{a^2+2}{a-1}\)
b) A < 2 \(\Rightarrow\frac{a^2+2}{a-1}< 2\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-2a+1\right)+2\left(a-1\right)+3}{a-1}< 2\)
\(\Leftrightarrow a-1+2+\frac{3}{a-1}< 2\Leftrightarrow a-1+\frac{3}{a-1}< 0\)
Đặt t = a-1 , xét :
Nếu t > 0 thì \(t+\frac{3}{t}< 0\Leftrightarrow t^2+3< 0\) không thỏa mãn vì \(t^2+3>3>0\)
Nếu t < 0 thì \(t+\frac{3}{t}< 0\Leftrightarrow t^2+3>0\) thỏa mãn
Vậy a - 1 < 0 => a < 1 thỏa mãn đề bài
