Question

Cho biểu thức A = \(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{x^2+1}{x^2-4}\) (x ≠ \(\pm\) 2 )

1. Rút gọn biểu thức A

2. Chứng tỏ rắng với mọi x thỏa mãn -2 < x < 2, x \(\ne-1\) phân thức luôn có giá trị âm

Giúp mk vs!!

Answer 1

a, ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ne0\\x+2\ne0\end{matrix}\right.\)

=> \(x\ne\pm2\)

Ta có : \(A=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{x^2+1}{x^2-4}\)

=> \(A=\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

=> \(A=\frac{x+2+x-2+x^2+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

=> \(A=\frac{x^2+2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2-4}\)

b, Ta có : \(A=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2-4}\)

Ta thấy : \(\left(x+1\right)^2\ge0\)

- Để phân thức có giá trị âm thì : \(x^2-4< 0\)

<=> \(x^2< 4\)

<=> \(-2< x< 2\)

Vậy với mọi x thỏa mãn điều kiện trên thì phân thức luôn âm .