a)- Xét \(\Delta ABC\) có: \(\dfrac{AB}{8}=\dfrac{AC}{15}=\dfrac{BC}{17}\left(AB< AC< BC\right)\) và \(AB+AC+BC=120\left(cm\right)\).
\(\Rightarrow AC=\dfrac{15}{8}AB;BC=\dfrac{17}{8}AB\)
\(\Rightarrow AB+\dfrac{15}{8}AB+\dfrac{17}{8}AB=120\)
\(\Rightarrow5AB=120\)
\(\Rightarrow AB=24\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AC=\dfrac{15}{8}.24=45\left(cm\right);BC=\dfrac{17}{8}.24=51\left(cm\right)\)
- Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AC^2=24^2+45^2=2601\left(cm\right)\\AC^2=51^2=2601\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại A.
\(\Rightarrowđpcm\)
b) - Gọi AD, BE là hai đường phân giác của \(\Delta ABC\), I là giao của chúng.
- Hạ IE, DF vuông góc với AC tại E,F.
- \(\Delta ABC\) có: AD là phân giác.
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{24}{45}=\dfrac{8}{15}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB.BC}{AB+AC}\)
- \(\Delta ABD\) có: BI là phân giác.
\(\Rightarrow\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AB}{\dfrac{AB.BC}{AB+AC}}=\dfrac{AB+AC}{BC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ID}{AI}=\dfrac{BC}{AB+AC}\Rightarrow\dfrac{AD}{AI}=\dfrac{AB+AC+BC}{AB+AC}=\dfrac{120}{24+45}=\dfrac{40}{23}\).
\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{8}{15}\Rightarrow\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{23}{15}\).
- \(\Delta ABC\) có: DF//AB (cùng vuông góc với AC).
\(\Rightarrow\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{15}{23}\) (hq định lí Ta-let).
\(\Rightarrow DF=\dfrac{15}{23}AB=\dfrac{15}{23}.24=\dfrac{360}{23}\left(cm\right)\)
- \(\Delta ADF\) có: IE//DF (cùng vuông góc với AC).
\(\Rightarrow\dfrac{IE}{DF}=\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{23}{40}\) (hq định lí Ta-let)
\(\Rightarrow IE=\dfrac{23}{40}.\dfrac{360}{23}=9\left(cm\right)\)
- Vậy khoảng cách từ giao điểm ba đg phân giác đến mỗi cạnh bằng 9cm.
