Question

Cho ba số thực không âm x,y,z.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}-\frac{4}{\left(x+y\right)\sqrt{\left(x+2z\right)\left(y+2z\right)}}-\frac{5}{\left(y+z\right)\sqrt{\left(y+2x\right)\left(z+2x\right)}}\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$(x+2z)(y+2z)\leq \left(\frac{x+2z+y+2z}{2}\right)^2=\left(\frac{x+y+4z}{2}\right)^2$
$\Rightarrow \sqrt{(x+2z)(y+2z)}\leq \frac{x+y+4z}{2}$

$\Rightarrow (y+z)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}\leq \frac{(x+y)(x+y+4z)}{2}=\frac{(x+y)^2+4zx+4zy}{2}\leq \frac{2(x^2+y^2)+2(z^2+x^2)+2(z^2+y^2)}{2}=2(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow \frac{4}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}\geq \frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tương tự:

$\frac{5}{(y+z)\sqrt{(y+2x)(z+2x)}}\geq \frac{5}{2(x^2+y^2+z^2)}$

Do đó:

$P\leq \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}}-\frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}$

Đặt $\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}=a$. ĐK: $a>2$ do $x,y,z$ không thể đồng thời bằng $0$

$P\leq \underbrace{\frac{4}{a}-\frac{9}{2(a^2-4)}}_{f(a)}$

$f'(a)=\frac{-4}{a^2}+\frac{9}{(a^2-4)^2}=0\Leftrightarrow a=4$

Lập bảng biến thiên suy ra:

$f(a)_{\max}=f(4)=\frac{5}{8}$

$\Rightarrow P\leq f(a)\leq \frac{5}{8}$

Vậy $P_{\max}=\frac{5}{8}$

Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

Answer 2

https://diemtinbuoisang.com/clip-nong-mat-voi-ong-chu-trung-nien-thanh-nien-vac-cuoc-danh-giua-duong-post1898448?utm_source=gtintuc&utm_medium=bigshare96330-1898448-c1f4f77e

Answer 3

copy link rồi vô nhé